Notes on English and Math for Teachers and Students of Class Six to HSC - School College University

বিসিএস অংক প্রশ্ন সমাধান: নৌকার বেগ কত? একটি নৌকা স্রোতের অনুকূলে ঘন্টায় ১০ কিমি এবং স্রোতের প্রতিকূলে ঘন্টায় ২ কিমি যায়। স্থির পানিতে নৌকার বেগ কত?  আমি ধাপে ধাপে অঙ্কটা বুঝিয়ে দিচ্ছি: ধাপ ১: সমস্যাটা বুঝুন এখানে আমাদের কাছে একটা নৌকার গতিবেগ দেওয়া আছে যখন সেটি স্রোতের দিকে যায় এবং যখন সেটি স্রোতের বিপরীতে যায়। আমাদের বের করতে হবে যদি জল স্থির থাকে তবে সেই নৌকাটি কত বেগে চলতে পারবে। ধাপ ২: চলক নির্ধারণ করুন  * ধরা যাক, স্থির পানিতে নৌকার বেগ ঘন্টায় (x) কিমি।  * ধরা যাক, নদীর স্রোতের বেগ ঘন্টায় (y) কিমি। ধাপ ৩: সমীকরণ তৈরি করুন যখন নৌকা স্রোতের অনুকূলে যায়, তখন নৌকার বেগ এবং স্রোতের বেগ যোগ হয়। তাই আমরা লিখতে পারি: (x + y = 10)  (সমীকরণ ১) যখন নৌকা স্রোতের প্রতিকূলে যায়, তখন স্রোতের বেগ নৌকার বেগ থেকে বিয়োগ হয়। তাই আমরা লিখতে পারি: (x - y = 2)   (সমীকরণ ২) ধাপ ৪: সমীকরণ সমাধান করুন আমাদের এখন দুটি সমীকরণ আছে এবং দুটি অজানা রাশি ((x) এবং (y))। আমরা এই সমীকরণগুলো সমাধান করে (x) এর মান বের করতে পারি, যা স্থির পানিতে নৌকার বেগ। সহজ উপায় হলো দুটি সমীকরণ যো...

কোনো আসল টাকা ৩ বছরে সরল সুদে দ্বিগুণ হলে, কত বছরে তা সুদেমূলে চারগুণ হবে? পাটিগণিতের সুদ আসল অংক অঙ্কটি ধাপে ধাপে সহজভাবে বুঝিয়ে দিচ্ছি: ধাপ ১: আসল টাকা এবং দ্বিগুণ হওয়ার অর্থ বোঝা:  ধরা যাক, আপনার কাছে কিছু টাকা আছে। এই টাকাটাই হলো "আসল টাকা"। আমরা এই আসল টাকাকে (P) ধরে নিই।   প্রশ্নে বলা হয়েছে, ৩ বছরে এই আসল টাকা সরল সুদে দ্বিগুণ হয়। "দ্বিগুণ" মানে হলো আপনার আসল টাকা (P), সুদের সাথে মিলে (2P) হয়ে যায়। ধাপ ২: ৩ বছরে কত সুদ পেলেন তা বের করা:  * আপনার আসল টাকা ছিল (P)। ৩ বছর পর সুদসহ হলো (2P)।  * তাহলে, এই ৩ বছরে আপনি কত টাকা সুদ পেলেন?    সুদ = সুদসহ আসল - আসল    সুদ = (2P - P = P) টাকা।  * তার মানে, ৩ বছরে আপনার আসল টাকার সমান (P) টাকার) সুদ পেয়েছেন। ধাপ ৩: প্রতি বছরে কত সুদ পান তা বের করা:  * সরল সুদের নিয়ম হলো, প্রতি বছর একই পরিমাণ সুদ পাওয়া যায়।  * যদি ৩ বছরে (P) টাকা সুদ পাওয়া যায়, তাহলে ১ বছরে কত সুদ পাওয়া যায়?    ১ বছরের সুদ = P/3 টাকা। ধাপ ৪: কত বছরে চারগুণ হবে তা বের করার লক্ষ্য নির্ধারণ:  * এখ...

একটি রম্বসের প্রতিটি বাহু ১৩ সেমি, একটি কর্ন ২৪ সেমি হলে, অপর কর্ণের দৈর্ঘ্য কত? রম্বসের কর্ণের দৈর্ঘ্য কিভাবে বের করতে হয়  একটি রম্বসের প্রতিটি বাহু ১৩ সেমি এবং একটি কর্ণ ২৪ সেমি হলে, অপর কর্ণের দৈর্ঘ্য নির্ণয় করার জন্য নিচের ধাপগুলো অনুসরণ করা যাক: ধাপ ১: রম্বসের চিত্র অঙ্কন প্রথমে একটি রম্বসের চিত্র আঁকি এবং তার বৈশিষ্ট্যগুলো চিহ্নিত করি।       এখানে ABCD একটি রম্বস, যার প্রতিটি বাহুর দৈর্ঘ্য AB = BC = CD = DA = ১৩ সেমি। ধরা যাক কর্ণ BD = ২৪ সেমি। আমাদের অপর কর্ণ AC-এর দৈর্ঘ্য নির্ণয় করতে হবে। ধাপ ২: কর্ণের বৈশিষ্ট্য ব্যবহার আমরা জানি যে রম্বসের কর্ণদ্বয় পরস্পরকে সমকোণে সমদ্বিখণ্ডিত করে। অর্থাৎ, কর্ণ AC এবং BD পরস্পর O বিন্দুতে সমকোণে ছেদ করে এবং BO = OD, AO = OC হয়। যেহেতু BD = ২৪ সেমি, তাই BO = OD = ২৪/২ = ১২ সেমি। ধাপ ৩: পিথাগোরাসের উপপাদ্য প্রয়োগ এখন আমরা সমকোণী ত্রিভুজ AOB (কিংবা BOC, COD, DOA) বিবেচনা করি। এই ত্রিভুজে ∠AOB = ৯০°। পিথাগোরাসের উপপাদ্য অনুসারে: AB^2 = AO^2 + BO^2 আমাদের AB এবং BO-এর মান জানা আছে। আমরা AO-এর মান বের করতে পারি: ১৩^২ = AO^2 ...

১৩ সেমি ব্যাসার্ধের বৃত্তের কেন্দ্র হতে ৫ সেমি দূরে জ্যা এর দৈর্ঘ্য কত? গাণিতিক যুক্তি: জ্যামিতিক সমাধান ধাপ ১: চিত্র কল্পনা (Imagining the Diagram) প্রথমে একটা বৃত্তের ছবি মনে করো।  * এই বৃত্তের একটা কেন্দ্র আছে, যেটাকে আমরা 'O' নাম দিলাম।  * বৃত্তের পরিধি (গোল চারপাশের লাইনটা) পর্যন্ত একটা সরলরেখা টানো। এই সরলরেখাটাই হলো ব্যাসার্ধ। প্রশ্নে বলা আছে ব্যাসার্ধ (r) = ১৩ সেমি।  * এবার বৃত্তের ভেতরে দুটো বিন্দু নাও (ধরা যাক A এবং B)। এই দুটো বিন্দুকে একটা সরলরেখা দিয়ে যোগ করো। এই সরলরেখাটাই হলো জ্যা। আমাদের এই জ্যা 'AB'-এর দৈর্ঘ্য বের করতে হবে।  * প্রশ্নে আরও বলা আছে যে কেন্দ্র 'O' থেকে জ্যা 'AB'-এর দূরত্ব ৫ সেমি। এই দূরত্ব মানে হলো কেন্দ্র থেকে জ্যা-এর উপর লম্বভাবে টানা একটি সরলরেখা, যার দৈর্ঘ্য ৫ সেমি। এই লম্ব সরলরেখা জ্যা 'AB'-কে যে বিন্দুতে ছেদ করে, সেই বিন্দুটির নাম দিলাম 'D'। তাহলে OD = ৫ সেমি এবং OD ⊥ AB (OD, AB এর উপর লম্ব)। ধাপ ২: জ্যামিতিক বৈশিষ্ট্য ব্যবহার (Using Geometric Properties) আমরা জানি যে বৃত্তের কেন্দ্র থেকে কোনো জ্যা-এর ...

গাণিতিক যুক্তি: অনুপাতের অংক - বিসিএস অংক সমাধান। দুটি সংখ্যার অনুপাত ৫:৮ , সংখ্যা দুইটির সাথে ২ যোগ করলে অনুপাত হয় ২:৩। সংখ্যা দুইটি কি কি? ধরি, সংখ্যা দুটি ৫x এবং ৮x। যেহেতু তাদের অনুপাত ৫:৮, তাই আমরা এই আকারে ধরে নিতে পারি। এখন, প্রশ্নমতে, সংখ্যা দুইটির সাথে ২ যোগ করলে নতুন সংখ্যা দুটি হবে (৫x + ২) এবং (৮x + ২)। এবং এই নতুন সংখ্যা দুটির অনুপাত হবে ২:৩। আমরা অনুপাতকে এভাবে লিখতে পারি: (৫x + ২) : (৮x + ২) = ২ : ৩ অনুপাতকে সমানুপাত আকারে লিখলে: (৫x + ২) / (৮x + ২) = ২ / ৩ আমরা এখন গুণ করবো (cross-multiplication): ৩ * (৫x + ২) = ২ * (৮x + ২) গুণ করে পাই: ১৫x + ৬ = ১৬x + ৪ এখন, x যুক্ত পদগুলো একদিকে এবং সংখ্যাগুলো একদিকে নিয়ে আসি: ১৬x - ১৫x = ৬ - ৪ অতএব, x = ২ এখন আমরা x এর মান ব্যবহার করে আসল সংখ্যা দুটি বের করতে পারি: প্রথম সংখ্যা = ৫x = ৫ * ২ = ১০ দ্বিতীয় সংখ্যা = ৮x = ৮ * ২ = ১৬ সুতরাং, সংখ্যা দুটি হলো ১০ এবং ১৬। দুটি সংখ্যার অনুপাত ৫:৮ , সংখ্যা দুইটির সাথে ২ যোগ করলে অনুপাত হয় ২:৩। সংখ্যা দুইটি কি কি? সমাধান ইউটিউব ভিডিওতে দেখুন।